اختصاصی از
فی دوو دانلود مقاله سیستمهای کنترل دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
-1 مقدمه:
کنترل خودکار پیشرفت علوم مهندسی نقشی حیاتی داشته است. کنترل خودکار علاوه بر نقش بسیار مهمی که در سیستمهای فضا پیما، هدایت موشک، روباتها و سیستمهای مشابه داشته است. بخش مهم ناگسستنی از فرآیندهای صنعتی امروزی است. کنترل خودکار در کنترل عددی ماشینهای ابزار، طراحی هواپیماهای بی سر نشین و طراحی اتومبیل وکامیون کاملاً ضروری است. در فرایند صنعتی متنوعی چون کنترل فشار، دما، رطوبت، چسبندگی و جریان نیز کنترل نقشی اساسی دارد.
چون پیشرفت نظریة کنترل خودکار و کاربردهای آن عامل دستیابی به کارایی بهینة سیستمهای دینامیکی، ازدیاد بازده، و تسهیل کارهای تکراری دستی است، مهندسین و دانشمندان باید درک خوبی در این زمینه کسب کنند.
مرور تاریخی: اولین کار برجسته در زمینة کنترل خودکار، ناظم گریز از مرکز جیمز وات، برای کنترل سرعت ماشینهای بخار در قرن هیجدهم است. دیگر کارهای برجسته در مراحل اولیة بسط نظریه کنترل توسط مینوسکی، هازن، نایکوییست ودیگران انجام شده است. در 1922 مینورسکی بر روی کنترل خودکار کشتیها کارکرد و نشان داد که چگونه می توان پایداری را با توجه به معادلات دیفرانسیل توصیف کنندة سیستم تعیین کرد. در 1932، نایکوییست روش نسبتاً ساده ای برای تعیین پایداری سیستمهای حلقه بسته، براساس پاسخ حلقه باز به ورودیهای سینوسی، ارائه کرد. در سال 1934 هازن، که اصطلاح سرو مکانیسم برای سیستمهای کنترل وضعیت از ابداعات اوست. طراحی که سیستم سرومکانیسم رله ای را مورد بحث قرار داد، که می توانست ورودی متغیری را به خوبی دنبال کند.
در دهة 1940 روشهای پاسخ فرکانسی (خصوصاً روش نمودار بوده که توسط بوده ابداع شد) امکان طراحی سیستمهای کنترل حلقه بسته ای خطی یی را فراهم کرد که شاخصهای عملکرد را براورده می کردند. طی سالهای آخر دهة 1940 تا سالهای اول دهة 1950، ایوانز روش مکان هندسی ریشه ها را به طور کامل مورد بررسی قرار داد.
روشهای پاسخ فرکانسی و مکان هندسی ریشه ها اساس نظریة کلاسیک کنترل هستند. اینها به سیستمهای منجر می شوند که پایدارند و مجموعه ای از خواسته ای کم و بیش دلخواه عملکرد را برآورده می کنند. این سیستمها در حالت کلی قابل قبول اند، ولی به هیچ مفهومی بهینه نیستند. از اواخر دهة 1950 به بعد، تاکید از طراحی سیستمی که کار قابل قبولی دارد، به طراحی سیستمی بهینه معطوف گشته است.
چون دستگاههای چند ورودی، چند خروجی امروزی روز به روز پیچیده تر می شوند، توصیف یک سیستم کنترل امروزی باتعداد معادله انجام می شود. نظریة کلاسیک کنترل که تنها به سیستمهای یک ورودی- یک خروجی اختصاص دارد، برای تحلیل این سیستمهای چند ورودی- چند خروجی توانایی کافی ندارد. از اواسط دهة 1960، به خاطر در دسترس بودن کامپیوترهای دیجیتال، تحلیل سیستمهای پیچیده در حوزة زمان امکان پذیر شده است. به همین خاطر نظریة جدید کنترل بر اساس تحلیل و طراحی در حوزة زمان، با استفاده از متغیرهای حالت پاگرفته است تا بتواند از عهدة تحلیل دستگاههای پیچیدة امروزی برآید و سیستم کنترلی تحویل دهد که خواسته های مربوط به وزن، هزینه، و دقت را، که امروزه با وسواس بیشتر و تولرانس کمتر تعیین می شوند، برآورده کند.
طی سالهای 1940 تا 1980 تحقیقات گسترده ای در مورد کنترل بهینة سیستمهای قطعی و اتفاقی، کنترل وفقی و یادگیرندة سیستمهای پیچیده صورت گرفت. از 1980 تاکنون تحقیقات نظری کنترل حول مباحثی چون کنترل مقاوم، کنترل , و موضوعات مرتبط با آنها دورمی زده است.
اکنون کامپیوترهای دیجیتال به خاطر ارزانی و کوچکی در سیستمهای کنترل بسیار به کار برده می شوند. نظریة جدید کنترل اخیراً در کاربردهای غیر مهندسی، چون سیستمهای زیستی، دارویی، اقتصادی و جامعه شناسی به کار برده شده است.
تعاریف. قبل از شروع بحث راجع به سیستمهای کنترل باید برخی اصطلاحات را تعریف کنیم.
متغیر کنترل شده و متغیر تاثیرگذار. متغیر کنترل شده، کمیت یا شرطی است که اندازه گیری و کنترل می شود متغیر تاثیرگذار کمیت یا شرطی است که تغییر داده می شود تا بر متغیر تحت کنترل تاثیر بگذارد. معمولاً متغیر تحت کنترل خروجی سیستم است. منظور از کنترل اندازه گیری متغیر تحت کنترل و اعمال کاربرد متغیر تأثیرگذار برای رساندن متغیر تحت کنترل به مقدار مطلوب است.
در مطالعة مهندسی کنترل برای توصیف سیستمهای نیازمند تعریف اصطلاحات دیگری نیز هستیم.
دستگاه. دستگاه می تواند بخشی از یک وسیله، مثلاً مجموعه ای از اجزاء ماشین که یک کار انجام می دهند، باشد. در این کتاب هر جسم فیزیکی تحت کنترل (مثلاً یک وسیلة مکانیکی، کورة گرمایش، راکتور شیمیایی، یا سفینه) دستگاه نامیده می شود.
فرایند. فرایند عملی طبیعی و تدریجی یا یک رشتة تغیر تدریجی است که به صورتی تقریباً معین یکی پس از دیگری انجام شده به هدفی مشخص می انجامد، همچنین عملی مصنوعی که از یک رشته جنبشها و کارهای کنترل شده برای سوق به هدفی مشخص صورت می گیرد. در این کتاب هر کاری را که باید کنترل شود فرآیند می نامیم.
فرایندهای شیمیایی، اقتصادی، و زیستی مثالهایی از این فرایندها هستند.
سیستم. سیستم ترکیبی از اجزاست که باهم و برای انجام عملی مشخص کار می کنند. سیستم تنها سیستم فیزیکی نیست. مفهوم سیستم را میتوان به پدیده های پویای انتزاعی، مثلاً پدیده های اقتصادی، نیز تعمیم داد. بنابراین کلمة سیستم می تواند تمام سیستمهای فیزیکی، زیستی، اقتصادی، و غیره را شامل شود.
اغتشاش. اغتشاش سیگنالی است که در جهت تغییر شدید یک سیستم عمل می کند. اگر اغتشاش در داخل سیستم تولید شود آن را داخلی می نامیم، اغتشاش خارجی در خارج سیستم تولید می شود و یک ورودی سیستم است.
کنترل با فیدبک. منظور از کنترل با فیدبک عملی است که می کوشد اختلاف بین خروجی سیستم ورودی مرجع را به رغم وجود اغتشاش می نیم کند، و این کوشش بر اساس این اختلاف صورت می گیرد. در اینجا تنها اغتشاشای پیش بینی نشده مورد نظر است، زیرا اغتشاشهای معلوم را همیشه می توان در داخل سیستم جبران کرد.
1-2 نمونه های از سیستمهای کنترل
در این بخش نمونه هایی از سیستمهای کنترل رامعرفی می کنیم.
سیستم کنترل سرعت. اصول اساسی ناظم سرعت وات برای یک ماشین در شکل 1-1 نشان داده شده است. مقدار سوختنی که به ماشین می رسد براساس تفاضل سرعت مطلوب و سرعت واقعی ماشین تنظیم می شود. رشته عملیات کنترلی را می توان به صورت زیر بیان کرد:
سیستم کنترل سرعت
ناظم سرعت طوری تنظیم شده است که در سرعت مطلوب روغن تحت فشار به هیچ طرف سیلندر قدرت وارد نمی شود. اگر سرعت موتور را در اثر اغتشاش از این حد مطوب کمتر شود، کاهش نیروی گریز از مرکز ناظم سرعت باعث کاهش شیر کنترل به سمت پایین می شود. این حرکت باعث افزایش ورودی سوخت شده، سرعت افزایش می یابد تا به حد مطلوب برسد. اگر سرعت موتور بیش از حد مطلوب شود، افزایش نیروی گریز از مرکز باعث بالارفتن شیر کنترل شده، سوخت کمتری به ماشین می رسد.
کاهش سوخت باعث کاهش سرعت ماشین و رسیدن آن به حد مطلوب می شود.
در این سیستم کنترل سرعت، دستگاه (سیستم تحت کنترل) ماشین و متغیر تحت کنترل سرعت آن است. تفاضل بین سرعت مطلوب و سرعت واقعی سینگنال خطاست. سیگنال کنترل (مقدار سوخت) که به دستگاه (ماشین) اعمال می شود، سیگنال کاراندازا است، ورودی خارجی که باعث تغییر تحت کنترل می شود، اغتشاش است.بعنوان مثال تغییر غیر منتظرة بار ماشین یک اغتشاش است.
سیستم کنترل دما. شکل 1-2 نمودار کنترل درجه حرارت یک کورة الکتریکی را نشان می دهد درجه حرارت داخل کورة الکتریکی توسط دماسنج، که وسیله ای آنالوگ است سنجیده می شود. مبدل A/D سیگنال آنالوگ دما رابه یک سیگنال دیجیتال دما تبدیل می کند. این سیگنال از طریق یک مدار واسطه به کنترل کننده داده می شود. دمای دیجیتالی با دمای برنامه ریزی شده در ورودی مقایسه می شود، ودر صورت وجود اختلاف (خطا) سیگنالی از طریق کنترل کننده به کوره، باز هم از طریق یک مدار واسطة تقویت کننده وارد می شود و رله دما را به حد مطلوب
می رساند.
سیستم کنترل درجه حرارت
سیستمهای اداری. سیستم اداری ممکن است از گروههای بسیاری تشکیل شده باشد. هر وظیة محول شده به یک گروه عنصری پویا از این سیستم است. در چنین سیستمی باید فیدبک به صورت گزارشگری از کارهای محول شده به کار می رود تا سیستم به طور مناسبی عمل کند. تداخل بی گروههای اری باید می نیمم شود تا تاخیرهای زمانی نامطوب در سیستم کم شود. هر چه تداخلها کمتر شود کار روانتر صورت می گیرد.
سیستم اداری یک سیستم حلقه بسته است. طراحی خوب، مدیریت کنترلی لازم را کاهش می دهد. اغتشاشهای این سیستم کمبود کارمند یا وسایل،وقفه در ارتباطات، اشتباههای انسانی و غیره است.
ایجاد یک سیستم برآورد خوب براساس آماری کاری لازمة مدیریت خ وب است. (این حقیقتی شناخته شده است که پیش افتادن کار عملکرد چنین سیستمی را بهبود می بخشد.)
برای استفاده از نظریة کنترل برای بهبود عملکرد چنین سیستمی باید مشخصات دینامیکی گروههای کاری را با معادلات نسبتاً ساده ای توصیف کنیم.
گرچه تعیین نمایش ریاضی گروههای کاری مسئلة مشکلی است، ولی کاربرد روشهای بهینه سازی در مورد سیستمهای اداری بهبود قابل ملاحظه ای در عملکرد آنها ایجاد می کند.
نمودار بلوکی یک سازمان مهندسی
برای رسم نمودار بلوکی می توان فعالیتهای کارکردی را به صورت جعبه، و اطلاعات یا محصولات خروجی هر فعالیت را به صورت خطوط سیگنال نشان داد. شکل 1-4 یک نمودار بلوکی ممکن را نشان می دهد.
1-3 کنترل حلقه بسته و کنترل حلقه باز
سیستمهای کنترل فیدبک دار سیستمی که برای ایجاد ارتباط مطلوب بین خروجی و ورودی مرجع، از مقایسة آنها و تفاضلشان استفاده می کند سیستم کنترل فیدبک دار نامیده می شود. سیستم کنترل دمای اتاق نمونه از چنین سیستمی است. ترموستات با اندازه گیری دمای اتاق و مقایسة آن با یک درجه حرارت مرجع (دمای مطلوب) وسیلة گرمایش یا سرمایش را به کار می اندازد یا آن را قطع می کند تا دمای اتاق به رغم درجه حرارت بیرون مقدار مطلوبی داشته باشد.
سیستمهای فیدبک دار تنها مهندسی منحصر نیست، بلکه در زمینه های غیر مهندسی مختلفی نیز یافت می شود برای مثال بدن انسان یک سیستم کنترل فیدبک دار بسیار پیشرفته دارد هم دمای بدن و هم فشار خون توسط فیدبکهای زیستی ثابت نگهداشته می شوند. در واقع فیدبک نقش حیاتی دارد وبدن انسان را به اغشاشهای خارجی نسبتاً غیر حساس
می کند، تا او بتواند در شرایط متغیر محیطی کار خود را انجام دهد.
سیستمهای کنترل حلقه بسته. سیستمهای کنترل فیدبک دار را غالباًَ سیستمهای کنترل حلقه بسته می نامند. در عمل سیستمهای کنترل حلقه بسته سیستمهای کنترل فیدبک دار به یک معنی به کار می روند. در سیستم کنترل حلقه بسته سیگنال کارانداز خطا، که تفاضل سیگنال ورودی و سیگنال فیدبک شده است. برای کاهش خطا و آوردن خروجی به مقدار مطلوب به کنترل داده می شود و سیگنال فیدبک شده می تواند خود خروجی یا تابعی از خروجی و مشتق و انتگرال آن باشد. منظور از کنترل حلقه بسته استفاده از عمل فیدبک برای کاهش خطای سیستم است.
سیستمهای کنترل حلقه باز. سیستمهایی که در آنها خروجی بر عملی کنترلی تاثیر ندارد سیستمهای کنترل حلقه باز نامیده می شوند. به عبارت دیگر خروجی سیستم کنترل حلقه باز نه اندازه گیری می شود، و نه برای مقایسه با ورودی فیدبک می شود. یک مثال نوعی ماشین لباسشویی است. خیس کردن، شستن و آبکشی براساس یک زمانبندی از قبل معلوم انجام می شود. ماشین سیگنال خروجی را، که تمیزی لباسهاست، اندازه گیری نمی کند.
در سیستمهای حلقه باز خروجی با ورودی مرجع مقایسه نمی شود. پس به ازای هر ورودی مرجع یک شرایط کاری ثابت وجود دارد، بنابراین دقت سیستم به تنظیم آن بستگی دارد. اگر اغتشاش وجود داشته باشد، سیستم کنترل حلقه باز نمی تواند وظیفة مطلوب را انجام دهد. سیستم کنترل حلقه باز را در عمل تنها موقعی می توان به کار برد که رابطة ورودی و خروجی معلوم بوده، اغتشاش خارجی و داخلی وجود نداشته باشد. واضح است که چنین سیستمی یک سیستم فیدبک دار نیست. هر سیستم کنترلی که براساس زمانبندی کار می کند حلقه بازست. چراغهای راهنمایی که بر اساس زمانبندی کار می کنند. نمونة دیگری ازکنترل حلقه باز هستند.
مقایسة سیستمهای کنترل حلقه بسته و حلقه باز. یکی از مزایای سیستمهای کنترل فیدبک دار این است که فیدبک پاسخ سیستم را نسبت به اغتشاش خارجی و تغییر پارامترهای سیستم تقریباً بی اثر می کند. بنابراین می توان با استفاده از اجزاء ارزان و نه چندان دقیق دستگاه را به خوبی کنترل کرد، کاری که در سیستمهای حلقه باز ناممکن است.
از دیدگاه پایداری، ساختمان سیستمهای کنترل حلقه باز ساده رت است، زیرا در این سیستمها مشکل ناپایداری وجود ندارد. ولی در سیستمهای کنترل حلقه بسته پایداری یک مشکل اساسی است، این مشکل باعث می شود سیستم با دامنه ای ثابت یا متغیر نوسان کند.
باید تاکید کرد که اگر در سیستمی ورودی از قبل معلوم است و اغشاش وجود ندارد بهترست کنترل به صورت حلقه باز انجام شود. سیستم کنترل حلقه بسته تنها هنگامی برتری خود را نشان می دهد که اغتشاشهای پیش بینی نشده و /یا تغییرات غیرقابل پیش بینی اجزای سیستم وجود داشته باشد. توجه کنید که توانایی توانی خروجی تا حدی هزینه، وزن و اندازة سیستم کنترل را تعیین می کند. تعداد اجزای سیستم کنترل حلقه بسته از تعداد اجزای سیستم کنترل حلقه باز بیشترست. بنابراین سیستم کنترل حلقه بسته معمولاً گرانترست و توان بیشتری
می خواهد برای کاهش توان لازم سیستم، می توان در صورت امکان از کنترل حلقه باز استفاده کرد. معمولاً ترکیب کنترلهای حلقه باز و بسته ارزانترست و عملکرد مطلوب برای کل سیستم را در پی دارد.
2-1 مقدمه
روش تبدیل لاپلاس یک روش عملیاتی است که کاربرد ان در حل معادلات دیفرانسیل خطی مزایای زیادی دارد. با استفاده از تبدیل لاپلاس می توا بسیاری از توابع معمولی، مثل توابع سینوسی، سینوسی میرا و نمایی را به توابعی جبری از متغیر مختلط s تبدیل کرد. در صفحة مختلط می توان عملیات مشتقجگیری و انتگرالگیری را به عملیات جبری تبدیل کرد. به این ترتیب معادلة دیفرانسیل خطی به یک معادلة جبری از متغیر مختلط s تبدیل می شود. اگر این معادلة جبری را حل کرده، متغیر وابسته را برحسب s به دست می آوریم. می توانیم حل معادلظ دیفرانسیل (عکس تبدیل لاپلاس متغیر وابسته) را با استفاده از جدول تبدیل لاپلاس، یا با روش بسط به کسرهای جزیی به دست آوریم.
روش بسط به کسرهای تبدیل لاپلاس را در بخشهای 2-5 و 2-6 معرفی خواهیم کرد.
یکی از مزایای روش تبدیل لاپلوس این است که امکان کاربرد روشهای ترسیمی برای پیش بینی عملکرد سیستم، بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل حاکم بر سیستم، را میسر می داند مزیت دیگر این روش این است که هنگام حل معادلة دیفرانسیل، مولفه های گذرا وحالت ماندگار جواب، یکجا بهدست می آید.
نمای کلی فصل. در بخش 2-1 مطالب مقدماتی بیان شده است. در بخش 2-2 متغیرها و توابع مختلط به اختصار مرور شده اند. در بخش 2-3 تبدیل لاپلاس توابع زمانی پرکاربرد در مهندسی کنترل به دست امده اند. بخش 2-4 شامل قضایای مفید تبدیل لاپلاس است. و بخش 2-5 به عکس تبدیل لاپلاس اختصاص دارد. با استفاده از تجزیة (s)/A(s)B به کسرهای جزیی معرفی می شود، (s)A و (s)B چند جمله ایهایی از s هستند. در بخش 2-6 روشهای محاسباتی MATLAB برای یافتن بسط (s)A/ (s)B به کسرهای جزیی، و یافتن صفرها و قطبهای (s)A/ (s)B مورد بحث قرار گرفته است. سرانجام در بخش 2-7 به حل معادلات دیفرانسیل خطی مستقل از زمان به کمک تبدیل لاپلاس پرداخته شده است.
2-2 مرور متغیرها و توابع مختلط
قبل از معرفی تبدیل لاپلاس متغیرها و توابع مختلط را مرور می کنیم. قضیة اویلر را نیز بررسی می کنیم، این قضیه توابع سینوسی را به توابع نمایی مرتبط می کند.
متغیر مختلط. عدد مختلط یک بخش حقیقی دارد و یک بخش موهومی، که هر دو ثابت اند. اگر بخش حقیقی و / یا بخش موهومی متغیر باشد، کمیت مختلط را متغیر مختلط می نامند. در تبدیل لاپلاس نماد s را به عنوان متغیر مختلط به کار می بریم، یعنی
که بخش حقیقی و بخش موهومی آن است.
تابع مختلط. تابع مختلط (s)G، که تابعی از s است، یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی دارد.
که در آن و کمیات حقیقی اند. اندازة برابر و زاویة آن، برابر است. زاویه در جهت ساعتگرد نسبت به بخش مثبت محور حقیقی اندازه گرفته می شود. مزدوج مخلتط (s)G عبارت است از .
توابع مختلطی که معمولاً در تحلیل سیستمهای مطرح می شوند تابعی تک مقداری از s هستند و برای هر s خاصی به نحوی یکتا تعیین
می شوند.
تابع مختلط را در یک ناحیه تحلیلی می نامند، اگر و تمام مشتقهایش در آن ناحیه وجود داشته باشند، مشتق تابع تحلیلی عبارت است از
چون می تواند از بینهایت مسیر متفاوت به صفر میل کند. می توان ثابت کرد(در اینجا اثبات را بیان نمی کنیم) که اگر مشتق روی دو مسیر خاص، یعنی برابر باشند، مشتق روی هر مسیر دلخواه یکتا ست و بنابراین مشتق وجود دارد.
برای مسیر خاص (یعنی مسیر واقع بر محور حقیقی).
برای مسیر خاص (یعنی روی محور موهومی)
اگر این دو مشتق برابر باشند
آنگاه مشتق به نحوی یکتا تعیین می شود این دو شرط را شرایط کوشی- ریمان می نامند. اگر این دو شرط ارضا شوند تابع G(s) تحلیلی است.
به عنوان مثال تابع G(s) زیر را در نظر بگیرید.
پس
که در آن
می توان دید که بجز در s=1 (یعنی ) G(s) شرایط کوشی- ریمان را براورده می کند:
پس در تمام صفحة s بجز تحلیلی است. مشتق در تمام صفحه بجز در s=1 برابر است با
نقاطی از صفحة s که در آنها تابع G(s) تحلیلی است نقاط عادی نامیده می شود. نقاطی از صفحة s که در آنها تابع G(s) یا مشتقهای آن به بینهایت میل می کند قطب نامیده می شود. نقاطی که در آنها تابع G(s) برابر صفر است، صفرهای تابع نام دارند.
در s=-p مقداری محدود و غیر صفر داشته باشد، s=-p قطب مرتبه n نامیده می شود. به ازای n=1، قطب را قطب ساده می نامند. به ازای ، قطب را مرتبه دوم، مرتبه سوم، ... می نامند.
برای مثال تابع مختلط زیر را در نظر بگیرید.
G(s) در و صفر دارد، در و قطب ساده دارد ودر قطب دوگانه (یا قطب مرتبه دوم) دارد. توجه کنید که G(s) در صفر می شود. چون به ازای مقادیر بزرگ s
G(s)
G(s) در صفر سه گانه (یا صفر مرتبه سوم) دارد. اگر نقاط بی نهایت ار در نظر بگیریم، تعداد صفرها و قطبهای تابع G(s) برابرند. به طور خلاصه تابع G(s) پنج صفر و پنج قطب ( ) دارد.
قضیة اویلر. بسط و به صورت سری توانی عبارت اند از
پس
چون
می بینیم که
این را قضیة اویلر می نامند.
با استفاده از قضیة اویلر می توانیم توابع سینوس و کسینوس را بر حسب تابع نمایی بنویسیم. توجه کنید که و مزدوج مختلط است و
با جمع و تفریق این دو معادله به دست می آوریم.
(2-2)
(2-3)
2-3 تبدیل لاپلاس
ابتدا تعریفی از تبدیل لاپلاس و بحث مختصری راجع به شرایط وجود تبدیل لاپلاس ارائه می کنیم. سپس طی مثالهایی روش به دست آوردن تبدیل لاپلاس چند تابع متداول را نشان می دهیم.
تعریف می کنیم.
تابعی از زمان به نحوی که برای
=s یک متغیر مختلط
؟؟ = نمادی که نشان می دهد باید تبدیل لاپلاس کمیت جلوی آن توسط انتگرال تبدیل لاپلاس محاسبه شود. = تبدیل لاپلاس
تبدیل لاپلاس عبارت است از
فرآیند عکس یافتن تابع زمانی f(t) ازتبدیل لاپلاس f(s) عکس تبدیل لاپلاس نام دارد. نمادی که برای عکس تبدیل لاپلاس به کار می بریم ؟؟ است. عکس تبدیل لاپلاس را میتوان با انتگرال زیر از f(s) به دست آورد.
(2-4) در و
که در آن c، طول همگرایی، ثابتی حقیقی است که بزرگتر از بخش حقیقی تمام نقاط تکین f(S) برگزیده می شود. پس مسیر انتگرالگیری بامحور موازی است و به فاصلة c از آن قرار دارد. این مسیر سمت راست تمام نقاط تکین قرار دارد.
محاسبة انتگرال عکس پیچیده به نظر می رسد. درعمل برای یافتن f(t) به ندرت از این انتگرال استفاده می شود و روشهای ساده تری برای یافتنم f(t) وجوددارد. این روشهای ساده را دربخشهای 2-5 و 2-6 معرفی می کنیم. تذکر می دهیم که در این کتاب همیشه فرض می کنیم تابع زمانی f(t) برای زمانهای منفی صفرست، یعنی برای 0>t،0=f(t)
وجود تبدیل لاپلاس. تبدیل لاپلاس تابع f(t) در صورتی وجود دارد که انتگرال لاپلاس همگرا باشد. انتگرال لاپلاس در صورتی همگراست که f(t) در هر فاصله ای واقع در 0<t در تکه تکه پیوسته باشد و با میل t به بی نهایت مرتبة نمایی داشته باشد. تابع f(t) در صورتی مرتبة نمایی دارد که حقیقی باشد و یک عدد مثبت وجود داشته باشد، به نحوی که با میل t به بینهایت تابع زیر به صفر میل می کند.
اگر به ازای های بزرگتر از ،حد صفر باشد و به ازای های کوچکتر از بینهایت، را طول همگرایی تابع f(t) می نامند.
برای تابع
به ازای به صفر میل می کند. برای این تابع طول همگرایی است. ا انتگرال تنها در صورتی وجود دارد که ،بخش حقیقی s، بزرگتر از طول همگرایی باشد. پس عملگر s باید به نحوی انتخاب شود که این انتگرال همگرا باشد.
برحسب قطبهای تابع f(s)، طول همگرایی با بخش حقیقی راست ترین قطب f(s) برابر است. مثلاً برای تابع f(s) زیر
طول همگرایی برابر 1- است.می توان دید که برای توابعی چون t ، ، و طول همگرایی صفرست. برای توابعی چون ، ، وغیره طول همگرایی –c است.ولی برای توابعی کهم سریعتر از توابع نمایی رشد می کنند. نمی توان برای طول همگرایی مقداری برگزید. پس توابعی چون و تبدیل لاپلاس ندارند.
ولی باید به خواننده تذکر دهیم که گرچه (برای ) تبدیل لاپلاس ندارد، ولی مانع زمانی زیر
در =f(t) در ، 0=
تبدیل لاپلاس دارد، زیرا f(t) تنها در فاصلة محدود برابر است نه برای چنین تابعی را می توان به صورت فیزیکی ساخت، سیگنالهایی را که می توان عملاً تولیدکرد، همیشه تبدیل لاپلاس دارند.
اگر تابع f(t) تبدیل لاپلاس داشته باشد، تبدیل لاپلاس f(t) A که در آن A مقدار ثابتی است، برابر است با
این مطلب به وضوح از تعریف تبدیل لاپلاس نتیجه می شود، چون تبدیل لاپلاس یک عمل خطی است، اگر توابع تبدیل لاپلاس داشته باشند، به ترتیب ، تبدیل لاپلاس عبارت است از
در ادامه تبدیل لاپلاس چند تابع متداول را به دست می آوریم.
تابع نمایی. تابع نمایی زیر را در نظر بگیرید.
برای 0>t f(t)=0
برای 0 t A=
که در آن A و ثابت هستند. تبدیل لاپلاس این تابع نمایی را می توان به صورت زیر یافت:
می بینیم که تابع نمایی در صفحة مختلط یک قطب به وجود می آورد.
در یافتن تبدیل لاپلاس لازم داریم که بخش حقیقی s از (طول همگرایی) بزرگتر باشد. بلافاصله این سوال پیش می اید که آیا تبدیل لاپلاس به دست آمده در ناحیة صفحة s معتبر است. برای پاسخ دادن به این سوال باید به نظریة متغیرهای مختلط متوسل شویم. در نظریة متغیرهای مختلط قضیه ای موسوم به قضیة تعمیم توابع تحلیلی وجود دارد. این قضیه می گوید اگر دو تابع تحلیلی روی یک خم دلخواه محدود، واقع در ناحیه ای که در ان هر دو تحلیلی هستند برابر باشند. در تمام آن ناحیه برابرند. خم برابری معمولاً محور حقیقی یا بخشی از آن است. طبق این قضیه f(s) را می توان با گرفتن انتگرالی که در آن s مقدار دلخواهی بزرگتر از طول همگرایی دارد تعیین کرد و این f(s) برای بقیة مقادیر s واقع در ناحیه ای که در آن f(s) تحلیلی است. نیز معتبرست. بنابراین گرچه برای همگرایی مطلق باید بخش حقیقی s بزرگتر از طول همگرایی باشد، ولی f(s) به دست امده در تمام صفحه sبه جز در قطبهای f(s) معتبرست.
تابع پله. تابع پلة زیر را در نظر بگیرید.
برای 0>t f(t)=0
برای 0<t =A
که در آن =A مقداری ثابت است. توجه کنید که این تابع حالت خاصی از تابع نمایی ، به ازای a=0 است. تابع پله در t=0 تعریف نشده است. تبدیل لاپلاس در این تابع عبارت است از
در محاسبة این انتگرال فرض کرده ایم بخش حقیقی s از صفر (طول همگرایی) بزرگتر است، و در نتیجه حد در صفرست. چنانچه در بالا گفتیم تبدیل لاپلاس به دست آمده در تمام صفحة s بجز قطب واقع در s=0، معتبر است.
تابع پله ای که ارتفاعش برابر یک باشد، تابع پلة واحد خوانده می شود. تابع پلة واحدی را که در رخ می دهد. به صورت نشان داده می شود. تبدیل لاپلاس پلة واحد است، این تابع به صورت زیر تعریف می شود.
برای 0>t 1(t)=0
برای 0<t =1
پس
از لحاظ فیزیکی تابع پله ای که در t=0 رخ می دهد، معادل سیگنالی ثابتی است که در t=0 به طور ناگهانی به یک سیستم اعمال می شود.
تابع شیب. تابع شیب زیرا را در نظر بگیرید.
برای 0>t f(t)=0
برای 0 t =At
که در آن A مقداری ثابت است، تبدیل لاپلاس این تابع شیب به شکل زیر به دست می آید.
تابع سینوسی. تبدیل لاپلاس تابع سینوسی
برای 0>t f(t)=0
برای 0 t =A sin
که در آن A و مقادیر ثابتی هستند، به صورت زیر به دست می آید. با توجه به معادلة (2-3) sin را می توان به شکل زیر نوشت
به نحوی مشابه تبدیل لاپلاس به صورت زیر به دست می آید.
توضیح. تبدیل لاپلاس هر تابع دارای تبدیل لاپلاس f(t) را می توان با ضرب آن در گرفتن انتگرال حاصلضرب از و به دست آورد. ولی وقتی روش یافتن تبدیل لاپلاس را یاد گرفتیم دیگر لازم نیست برای یافتن لاپلاس f(t) همیشه انتگرالگیری کنیم. برای یافتن تبدیل لاپلاس f(t) می توان از جدولهای تبدیل لاپلاس استفاده کرد. در جدول 2-1 تبدیل لاپلاسهای توابع زمانی متداول در تحلیل سیستمهای کنترل خطی داده شده است.
تابع جابه جا کننده. بیابید تبدیل لاپلاس تابع جابه جا شدة با را بیابیم. این تابع در صفرست. توابع و در شکل 2-1 نشان داده شده اند.
با تغییر متغیر مستقل t به ، ، به دست می آوریم.
چون در این کتاب همواره فرض می کنیم در در ، . بنابراین می توان حد پایین انتگرال را از به 0 تبدیل کرد. پس
که در آن
بنابراین برای
این معادله می گوید جابه جا شدن تابع زمانی f(t)1(t) به اندازة (با ) با ضرب f(s) در متناظر است.
تابع پالس. تابع پالس زیر را در نظر بگیرید.
برای
برای 0=
که در آن A و 0t مقادیر ثابتی هستند.
تابع جابه جا شده
تبدیل لاپلاس
تبدیل لاپلاس (ادامه)
تابع پالس را میتوان یک تابع پله ای با ارتفاع دانست که در t=0 شروع می شود و یک تابع پله ای منفی به ارتفاع شروع شده در t=t0 با آن جمع شده است، یعنی
پس تبدیل لاپلاس f(t) به صورت زیر به دست می آید.
(2-5)
تابع ضربه. تابع ضربه یک حالت حدی خاص تابع پالسی است. تابع ضربة زیر را در نظر بگیرید.
برای
برای 0=
چون ارتفاع تابع ضربه 0t/A و عرض آن است، سطح زیر تابع ضربه برابر A است. با میل 0t به صفر، ارتفاع 0t/A به بینهایت میل می کند، ولی سطح زیر ضربه برابر A می ماند. توجه کنید که اندازة ضربه با مساحت زیر آن بیان می شود.
با توجه به معادلة (2-5) تبدیل لاپلاس این تابع ضربه را می توان به شکل زیر یافت.
بنابراین تبدیل لاپلاس تابع ضربه با مساحت زیر آن برابرست.
تابع ضربه ای که مساحتش برابر یک است. تابع ضربة واحد یا تابع دلتای دیراک خوانده می شود. تابع ضربة واحدی را که در رخ می دهد با ( ) نشان می دهند. شرایط زیر را ارضا می کند:
برای
برای
باید تذکر دهیم ضربه ای با ارتفاع بی نهایت و عرض صفر چیزی جز تخیل ریاضی نیست و در سیستمهای فیزیکی وجود ندارد. ولی اگر اندازة پالس ورودی یک سیستم خیلی بزرگ و عرضش نسبت به ثابت زمانیهای سیستم خیلی کوچک باشد، می توانیم پالس ورودی را با یک ضربه تقریب بزنیم. مثلاً اگر نیرو یا گشتاور ورودی f(t) برای زمان کوتاهی، در به یک سیستم اعمال شود و اندازة f(t) آنقدر بزرگ باشد که انتگرال مقداری غیر قابل چشم پوشی داشته باشد، می توان این ورودی را یک ضربه در نظر گرفت. (توجه کنید که در توصیف ورودی ضربه ای، مساحت یا اندازة ضربه مهمتر از هر چیزی است، ولی شکل دقیق ضربه معمولاً مهم نیست). ورودی ضربه در زمانی بسیار کوتاه به سیستم انرژی می دهد.
مفهوم تابع ضربه در مشتقگیری از توابع ناپیوسته بسیار مفیدست. تابع ضربة واحد را می توان مشتق تابع پلة واحد در نقطة ناپیوستگی دانست یا
برعکس اگر از تابع ضربة واحد انتگرال بگیریم، نتیجه تابع پلة واحد است. با استفاده از مفهوم تابع ضربه می توانیم از توابع دارای ناپیوستگی مشتق بگیریم، حاصل مشقتگیری ضربه هایی است که اندازه شان برابر اندازة ناپیوستگی های متناظر با آنهاست.
ضرب f(t) در . اگر f(t) تبدیل لاپلاس داشته و تبدیل لاپلاس آن f(s) باشد، تبدیل لاپلاس عبارت است از
(2-6)
می بینیم که اثر ضرب f(t) در جایگزین شدن به جای sاست. بر عکس تغییر s به معادل ضرب f(t) در است. (توجه کنید که می تواند حقیقی یا مختلط باشد.)
رابطة داده شده در معادلة (2-6) برای یافتن تبدیل لاپلاس توابعی نظیر و مفیدست.
برای مثال چون
از معادلة (2-6) نتیجه می گیریم که تبیدل لاپلاس و به ترتیب عبارت اند از
تغییر مقیاس زمانی. در تحلیل سیستمهای فیزیکی گاهی تغییر مقیاس زمانی یا نرمالیزه کردن یک تابع زمانی مفید واقع می شود. نتایج بهدست آمده بر حسب زمان نرمالیزه شده از این جهت مفیدست که می توان آنها را مستقیماً برای سیستمهای متفاوت دارای معادلات ریاضی مشابه به کار برد.
اگر t به /t تبدیل شود، یک عدد ثابت است، تابع f(t) به تبدیل می شود. اگر تبدیل لاپلاس f(t) را با f(s) نشان دهیم، تبدیل لاپلاس به صورت زیر به دست می آید.
باتغییر متغیرهای و به دست می آوریم.
به عنوان مثال . را در نظر بگیرید داریم.
این نتیجه را می توان با محاسبة مستقیم تبدیل لاپلاس به صورت زیر امتحان کرد:
توضیحاتی در مورد حد پایین انتگرال لاپلاس. در بعضی موارد f(t) تابع ضربه ای در دارد. بنابراین حد پایین انتگرال لاپلاس باید دقیقاً مشخص شود که است یا ، زیرا به ازای این دو حد، تبدیل لاپلاس متفاوتی برای f(t) به دست می آید. در صورتی که چنین تمایزی درحد پایین انتگرال لاپلاس ضروری باشد، نمادهای زیر را به کار می بریم.
پس اگر f(t) در تابع ضربه داشته باشد، آنگاه
زیرا در این حالت واضح است که اگر f(t) در تابع ضربه نداشته باشد (یعنی اگر تابع موردنظر در فاصلة تا ) مقدار محدودی داشته باشد)،آنگاه
2-4 قضایای تبدیل لاپلاس
در این بخش چند قضیه مربوط به تبدیل لاپلاس را که مهندسی کنترل مهم اند معرفی می کنیم.
قضیة مشتقگیری: تبدیل لاپلاس مشتق تابع f(t) عبارت است از
(2-7)
که در آن f(0) مقدار اولیة f(t) در است.
برای تابع f(t) ممکن است مقادیر و چنانچه در شکل 2-2 نشان داده شده است، برابر یا نابرابر باشند، تمایز بین و که در ناپیوستگی دارد مهم است، زیرا در چنین مواردی در تابع ضربه دارد. اگر معادلة (2-7) باید به صورت زیرا اصلاح شود.
برای اثبات قضیة مشتقگیری، معادلة (2-7) به این ترتیب عمل می کنیم. با انتگرالگیری جزءبه جزء از انتگرال لاپلاس به دست می اوریم.
پس
که نتیجه می دهد
به نحوی مشابه رابطة زیر را برای مشتق دوم f(t) به دست می آوریم.
که در آن f(0) مقدار در است/ برای یافتن این معادله قرار می دهیم.
تابع پله ای و تابع سینوسی و مقادیر اولیه نشان در
پس
به نحوی مشابه برای مشتق n ام f(t) به دست می آوریم.
که در آن ، ،...، به ترتیب مقادیر
... در هستند. اگر تمایز بین و قرار می دهیم.
توجه کنید که برای وجود داشتن تبدیل لاپلاس مشتقهای f(t)، باید تبدیل لاپلاس داشته باشد.
همچنین نیز توجه کنید که اگر مقدار اولیة f(t) و مشتقهای آن صفر باشد، تبدیل لاپلاس مشتق n ام f(t) برابر است.
قضیة مقدار نهایی. قضیة مقدار نهایی رفتار حالت ماندگار f(t) را به رفتار در همسایگی مرتبط می کند. ولی این قضیه تنها و تنها هنگامی قابل اعمال است که حد f(t) در وجود داشته باشد ]یعنی به ازای تابع f(t) به مقدار معینی میل کند. [ اگر تمام قطبهای در نیمة چپ صفحة S قرار داشته باشد، f به (t) ازای حد دارد. ولی اگر روی محور موهومی یا نیمة راست صفحة s قطب داشته باشد، f(t) به ترتیب رفتار نوسانی یا نمایی افزایشی خواهد داشت و f(t) به ازای حد ندارد. در این موارد قضیة مقدار نهایی را نمی توان اعمال کرد. برای مثال اگر f(t) تابع سینوسی باشد، قطبهایی در دارد و f(t) در وجود داشته باشد، آنگاه
برای اثبات قضیه s را در انتگرال لاپلاس مشتق f(t) به صفر میل می دهیم.
چون حد در برابر یک است، به دست می آوریم.
و از آن
قضیة مقدار نهایی می گوید رفتار حالت ماندگار f(t) همانند درهمسایگی است. پس می توان مقدار f(t) در را از به دست آورد.
قضیة مقدار اولیه. قضیة مقدار اولیه نظیر قضیة مقدار نهایی است. با استفاده از این قضیه می توانیم مقدار f(t) در را مستقیماً از روی تبدیل لاپلاس f(t) به دست اوریم. قضیة مقدار اولیه مقدار f(t) در را به دست نمی دهد، بلکه مقدار آن را در ، یعنی کمی پس از ، بیان می کند.
قضیة مقدار اولیه را می توان به این صورت بیان کرد، اگر f(t) و تبدیل لاپلاس داشته باشند و حد در وجود داشته باشد، آنگاه
برای اثبات این قضیه از عبارت مشتق f(t) استفاده می کنیم.
در فاصلة زمانی با میل s به بی نهایت به صفر میل می کند. (توجه کنید که در اینجا باید از استفاده کنیم نه از ) پس
یا
محل قطبهای هیچ محدودیتی در اعمال قضیة مقدار اولیه نمی گذارد. پس قضیة اولیه برای تابع سینوسی هم قابل اعمال است.
باید تذکر دهیم که قضیة مقدار اولیه و قضیة مقدارنهایی راهی مناسب برای امتحان جوابها هستند زیرا امکان پیش بینی رفتار سیستم در حوزة زمان را بدون نیاز به تبدیل از حوزة زمان، میسر می کنند.
قضیة انتگرالگیری: اگر f(t) مرتبة توانی داشته باشد و ، تبدیل لاپلاس وجود دارد وعبارت است از
(2-8)
که در آن و مقدار در است.
توجه کنید که اگر f(t) در تابع ضرر داشته باشد . پس در صورتی که f(t) در تابع ضربه داشته باشد، باید معادلة (2-8) را به صورت زیر اصلاح کرد:
قضیة انتگرالیگری بیان شده در معادلة (2-8) را می توان به صورت زیر اثبات کرد، انتگرالگیری جزءبه جزء نتیجه می دهد:
و قضیه ثابت می شود.
می بینیم که انتگرالگیری در حوزة زمان به تقسیم بر s در حوزة s تبدیل می شود. اگر مقدار اولیة انتگرال صفر باشد، تبدیل لاپلاس انتگرال f(t) برابر است.
قضیة انتگرالگیری بیان شده با معادلة (2-8) را می توان کمی اصلاح کرد و آن را برای انتگرالگیری معین f(t) به کار برد. اگر f(t) مرتبة توانی داشته باشد، تبدیل لاپلاس انتگرال معین عبارت است از
(2-9)
برای اثبات معادلة (2-9) ابتدا توجه کنید که
که در آن مقدار در و یک مقدار ثابت است.پس
توجه کنید که چون ثابت است داریم.
و به دست می آوریم
قضیة مشتقگیری فرکانسی. اگر f(t) تبدیل لاپلاس داشته باشد، بجز در قطبهای F(s) داریم
که در آن . این را قضیة مشتقگیری فرکانسی می نامند. همچنین
در حالت کلی
برای
برای اثبات قضیة مشقتگیری فرکانسی به ترتیب زیر عمل می کنینم.
و قضیة ثابت می شود. به نحوی مشابه، با تعریف نتیجه می گیریم
با تکرار این فرآیند به دست می آوریم.
برای
انتگرال کانالوشن. تبدیل لاپلاس انتگرال زیر را در نظر بگیرید
این انتگرال غالباً به شکل زیر نوشته می شود
عملگر ریاضی کانالوشن نامیده می شود.با گذاشتن به دستی می آوریم.
اگر و تکه تکه پیوسته از مرتبة توانی باشند، تبدیل لاپلاس انتگرال زیر
را می توان به شکل زیر یافت:
(2-10)
که در آن
برای اثبات معادلة (2-10) توجه کنید که برای . پس
و در نتیجه
با جایگذاری در معادلة آخر وتعویض ترتیب انتگرالگیری، که به خاطر تبدیل لاپلاس داشتن و عمل درستی است، به دست می آوریم.
معادلة اخیر تبدیل لاپلاس انتگرال کانالوشن است. برعکس اگر تبدیل لاپلاس تابعی برابر حاصلضرب تبدیل لاپلاسهای دو تابع باشد، یعنی تابع زمانی (عکس تبدیل لاپلاس) با انتگرال کانالوشن به دست می آید.
تبدیل لاپلاس حاصلضرب دوتابع زمانی. تبدیل لاپلاس حاصلضرب دو تابع دارای تبدیل لاپلاس و را می توان به شکل زیر نوشت:
(2-11)
برای نشان دادن این مطلب به ترتیب زیر عمل می کنیم: تبدیل لاپلاس حاصلضرب و را می توان به شکل زیر نوشت.
(2-12)
توجه کنید که انتگرال معکوس عبارت است از
برای
که در آن c طول همگرایی F(s) است. پس
به خاطر همگرایی یکنواخت دو انتگرال در نظر گرفته شده، می توانیم ترتیب انتگرالگیری را عوض کنیم.
و با توجه به این که
به دست می آوریم
خلاصه. در جدول 2-2 خواص و قضیه های تبدیل لاپلاس خلاصه شده است. اغلب این روابط در این بخش اثبات شده اند.
2-5 عکس تبدیل لاپلاس
همانطور که قبلاً تذکر دادیم عکس تبدیل لاپلاس را می توان با استفاده از انتگرال عکس داده شده در معادلة (2-4) به دست آورد. ولی انتگرال عکس پیچیده است و بنابراین کاربردش برای یافتن عکس تبدیل لاپلاس توابع متداول در مهندسی کنترل توصیه نمی شود.
روش مناسب یافتن عکس تبدیل لاپلاس استفاده از جدول تبدیل لاپلاس است. برای این کار تبدیل لاپلاس باید به شکلی باشد که بتوان آن را به سرعت در جدول یافت. غالباً تابع مورد نظر به شکلی نیست که بتوان آن را در جداول در دسترس پیدا کرد. اگر تبدیل لاپلاس F(s) در جدول نباشد باید آن را به صورت کسرهای جزیی بسط دهیم و F(s) را برحسب توابع ساده ای از s که در جدول موجودند بنویسیم.
توجه کنید که این روشهای ساده تر یافتن عکس تبدیل لاپلاس، بر تناظر یک به یک موجود بین توابع زمانی و تبدیل لاپلاس آنها استوار است.
بسط به کسرهای جزیی برای یافتن عکس تبدیل لاپلاس. برای مسائل تحلیل سیستمهای کنترلی F(s) ، تبدیل لاپلاس F(t)، غالباً به صورت زیرست
که در آن A(s) و B(s) چند جمله ایهایی از s هستند. در بسط به کسرهای جزیی، این نکتة مهمی است که بالاترین توان s در A(s) از بالاترین توان s در B(s) بزرگتر باشد. در غیر اینصورت باید صورت B(s) را بر مخرج A(s) تقسیم کرد تا یک چند جمله ای بر حسب s و باقیماندة آن (نسبت دو چند جمله ای که درجة صورتش کوچکتر از درجة مخرج است) به دست آید.
با تجزیة F(s) به مولفه های زیر
و درصورت داشتن عکس تبدیل لاپلاسF1(s)، F2(s)، .... ، Fn(s) به ترتیب عکس تبدیل لاپلاس F1(s)، F2(s)، .... ، Fn(s) هستند. عکس تبدیل لاپلاسی که به این صورت به دست می آید، بجز در نقاطی که تابع زمانی ناپیوسته است، یکتاست. اگر تابع زمانی پیوسته باشد، بین F(t) و تبدیل لاپلاس آن F(s) تناظر یک به یک وجود دارد.
خواص و قضیه های تبدیل لاپلاس
مزیت رهیافت تجزیه به کسرهای جزیی این است که جملات حاصل توابع بسیار ساده ای از s هستند و در صورت حفظ چند زوج تبدیل لاپلاس ساده، دیگر مراجعه به جدول لازم نیست. البته در اعمال روش بسط به کسرهای جزیی برای یافتن عکس تبدیل لاپلاس باید ابتدا ریشه های چند جمله ای مخرج را بدانیم، یعنی قبل از اعمال این روش باید چند جمله ای مخرج را به عوامل اول تجزیه کنیم.
بسط به کسرهای جزیی در حالتی که F(s) را تنها قطبهای مجزا دارد. F(s) رابه صورت تجزیه شده در نظر بگیرید.
که در آن یا حقیقی اند یا مختلط، ولی به ازای هر یا مختلط، مزدوج آنها نیز وجود دارد. اگر F(s) تنها قطبهای مجزا داشته باشد، می توان آن را به ترتیب زیر به شکل جمع کسرهای جزیی بسط داد
(2-14)
که در آن ثابت اند. را باقیمانده در قطب می نامند. مقدار را می توان با ضرب دو طرف معادلة (2-14) در و گذاشتن به دست آورد.
می بینیم که تمام جملات بسط بجز حذف می شوند. پس باقیماندة را می توان به شکل زیر یافت.
توجه کنید که چون f(t) تابعی حقیقی است، اگر p1،p2 مزدوج مختلط باشند، باقیمانده های a1 ، a2 نیز مزدوج مختلط اند. یعنی تنها یکی از دو باقیماندة a1 و a2 را باید تعیین کرد و دیگری خود به خود معین می شود.
چون
F(t) به صورت زیر به دست می آید.
در
بسط به کسرهای جزیی وقتی F(s) قطب مکرر دارد. به جای بحث در مورد حالت کلی مثالی از چگونگی یافتن بسط F(s)به کسرهای جزیی ارائه می کنیم.
بسط F(s) سه جمله دارد
b1،b2، و b3 به صورت زیر تعیین می شود. با ضرب دو طرف معادلة اخیر در داریم
(2-16)
پس با گذاشتن در معادلة (2-16) به دست می آوریم
اگر از دو طرف معادلة (2-16) نسبت به s مشتق بگیریم به دست می آوریم
(2-17)
و با گذاشتن در معادلة (2-17) به دست می آوریم.
نتیجة گرفتن مشتق از دو طرف معادلة (2-17) نسبت به s عبارت است از
تحلیل بالا نشان می دهد که برای یافتن مقادیرb3،b2، و b1 می توانیم به روش سازمانیافتة زیر عمل کنیم.
پس به دست می آوریم
در
توضیح. برای توابع پیچیده ای که مخرجشان چند جمله ایهای مرتبه بالاست. بسط به کسرهای جزیی می تواند بسیار وقت گیر باشد. در این موارد کار با MATLAB را توصیه می کنیم. (بخش 2-6 را ببینید)
2-6 بسط به کسرهای جزیی با MATLAB
MATLAB دستوری برای یافتن بسط به کسرهای جزیی دارد. همچنین دستوری برای یافتن صفرها و قطبهای
ابتدا کار با MATLAB برای یافتن بسط کسرهای جزیی را یاد می گیریم. سپس روش یافتن صفرها و قطبهای به کمک MATLAB را می آموزیم.
بسط کسرهای جزیی با استفاده MATLAB. تابع زیر را در نظر بگیرید.
که در آن بعضی ها و ها ممکن است صفر باشد. در MATLAB ضرایب چند جمله ایهای صورت و مخرج در بردارهای ردیفی مشخص می شوند. یعنی
دستور
باقیمانده ها (r)، قطبها (p) و جملات غیر کسری (k) نسبت به دو چند جمله ای را به دست می دهد.
بسط به کسرهای جزیی عبارت است از
(2-18)
از مقایسه معادلات (2-14) و (2-18) در می یابیم که ؛ .] خارج قسمت است.[
یافتن صفرها و قطبهای با MATLAB. در MATLAB برای یافتن صفرها، قطبها، و بهرة k تابع می توان دستور زیر را به کار برد.
سیستم تعریف شده به صورت زیر را در نظر بگیرید.
برای یافتن صفرها (z)، و بهرة (k) دستورات زیر را وارد می کنیم.
Num=[0 0 4 16 12]
Den=[1 12 44 48 0]
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
Z=
-3
-1
p=
0
-6.0000
-4.0000
-2.0000
K=
4
کامپیوتر خروجی زیر را به دست می دهد:
صفرها در , هستند. قطبها در 2- و 4- و 6- و قرار دارند. بهرة k برابر 4 است.
اگر صفرها، قطبها، و بهره را داشته باشیم و می توانیم زیر تابع num/den را به دست آوریم.
2-7 حل معادلات دیفرانسیل خطی مستقل از زمان
در این بخش به کاربرد تبدیل لاپلاس در حل معادلات دیفرانسیل خطی مستقل از زمان می پردازیم. تبدیل لاپلاس جواب کامل (جواب همگن و جواب خصوصی) معادلة دیفرانسیل خطی مستقل از زمان را به دست می دهد. در روش کلاسیک یافتن حل کامل معادلة دیفرانسیل باید ثابتهای انتگرالگیری را از شرایط اولیه به دست می آورد. ولی در روش تبدیل لاپلاس چنین کاری لازم نیست. زیرا شرایط اولیه خود به خود در گرفتن تبدیل لاپلاحس معادلة دیفرانسیل وارد می شوند.
اگر تمام شرایط اولیه صفر باشند. تبدیل لاپلاس معادلة دیفرانسیل با گذاشتن s به جای d/dt ، s2 به جای d2/dt2 و .... به دست
دانلود با لینک مستقیم
دانلود مقاله سیستمهای کنترل 
