جزوه آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی
آنالیز حقیقی کتاب های خلاصه منابع رشته ریاضی کاربردی
فهرست مطالب
فصل اول: مفهوم اندازه پذیری
فصل دوم: اندازه های بورل مثبت.
فصل سوم: فضاهای کلاسیک باناخ
فصل هفتم: فضاهای متریک.
فصل اول: مفهوم اندازه پذیری
1.1 اندازهی لبگ روی خط حقیقی
تعریف 10101 فرض کنیم x یک مجموعهی دلخواه باشد. گردایهی M از زیرمجموعهی x را یک s- جبر در x
گوییم هرگاه:
X ÎM (a)
آنگاه ، A ÎM اگر (b)
c
A ÎM
{ } اگر (c) n n 1 A
¥
=
n گردایهی شمارایی از عناصر M باشد، آنگاه
U ÎM
(اگر بهجای گردایهی شمارا در شرط (c) فقط گردایهی متناهی مدنظر باشد، دراینصورت M را جبر در x گوییم.)
تذکر: (1)
c
Æ = - x x x = ÎM
اگر (2) A1 2 n آنگاه ، ,A ,L,A ÎM
n
i 1 2 n
i 1
A A A A
=
U = U ULU U Æ U Æ Î UL M
(3) اگر ( )
n
آنگاه ، n = Î 1,2, A L M
واضح است که هر s- جبری یک جبر است و نه برعکس.
تمرین: جبری بسازید که s- جبر نباشد.
مثالها:
( ) (a) x
.(X در جبر -s بزرگترین) 2 x = P
.(X در جبر -s کوچکترین) M = Æ {X, } (b)
قضیه 20101 فرض کنیم F گردایهای از زیرمجموعههای X باشد. در اینصورت کوچکترین s- جبر (منحصر بفرد)
حاوی F وجود دارد. آنالیز حقیقی «7»
M یک s- جبر در X و حاوی F است
Fn است هر
بسته
On است هر
بسته
برهان.
W = {M : }
*
*M به وضوح هر s- جبر حاوی F حاوی
*M یک است. کافی است نشان دهیم
s- جبر است. فرض کنیم
لذا .(n = Î 1,2, A L) n M آنگاه ،باشد دلخواه MÎW اگر. n = Î 1,2, A L M
. دو شرط دیگر s- جبر بودن به طریق مشابه ثابت میشود.
s-جبر بورل (مجموعههای بورل)
تعریف 30101 فرض کنیم X یک فضای توپولوژیکی باشد. کوچکترین s- جبر حاوی مجموعههای باز را s- جبر
با بهاختصار B نمایش میدهند. ( s- جبر بورل، کوچکترین s- جبرحاوی Bx بورل در X مینامند و آن را به
مجموعههای بسته است.)
تمرین: نشان دهید که عدد اصلی (کاردینالیتی) مجموعههای بورل در ¡ ، c است.
تمرین: آیا s- جبر نامتناهی ولی شمارا وجود دارد؟
قرار میدهیم
é ù
= - Î ê ú ë û U F
æ ö
= ç ÷ - Î è ø I
همچنین قرار میدهیم «8» مجموعه ریاضی
یک بازه در
= F F sd s گردایه اشتراک
اندازه ی لبگ بر خط حقیقی
تعریف 60101 زیرمجموعهی E از خط حقیقی را لبگ- اندازهپیر گوییم هرگاه بهازای هر مجموعهی A داشته باشیم
* * * c c m A = m (A E) + m (A E ) (E = E = - E) I I ¡ %
همواره داریم
c * * * c
A = (A I E)U (A I E ) Þ m A £ + m (A I I E) m (A E )
بنابراین مجموعهی E اندازهپذیر است اگر و تنها اگر
* * * c
m A ³ + m (A I I E) m (A E )
نتایج:
1- مجموعههای ¡ و Æ لبگ اندازهپذیرند. زیرا:
* * c *
A 0
m (A I ¡) + = m (A I ¡ ) m A 14243 14243
پس ¡ اندازهپذیر است.
2- چون تعریف نسبت به E و
c
E متقارن است لذا اگر E اندازهپذیر باشد
c
E نیز اندازهپذیر است.
3- فرض کنیم M بهصورت زیر تعریف شده باشد. ثابت میکنیم که M یک s- جبری است.
M = {E : E}
دو خاصیت اول بهوضوح ثابت میشوند، زیرا ÎM ¡ و اگر E ÎM ، آنگاه
c
E ÎM. کافی است خاصیت سوم را
اثبات نماییم.
E1 لم 70101 اگر
E2 و
E E 1 2 U اندازهپذیر است. اندازهپذیر باشند، آنگاه
برهان. فرض کنیم A یک مجموعهی دلخواه باشد، داریم:
نوع فایل:Pdf
سایز:06 .3
تعداد صفحه:175
جزوه آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی
